Sumar y  restar  fracciones 

SUMA
Suma con el mismo denominador :

Para sumar fracciones con el mismo denominador se tienen que sumar los numeradores
dejando el mismo denominador.

Por ejemplo,

Como las 2 fracciones tienen el mismo denominador, lo que tenemos que hacer es dejar el
mismo denominador, que es 4, y sumar los numeradores:

3 + 2 = 5

Y el resultado de la suma de fracciones es:

Suma con distinto denominador :

Para hacer suma de fracciones con distinto denominador, lo primero que hay que hacer es
poner un denominador común: esto es el mínimo común múltiplo entre los denominadores
que haya. Después multiplicamos cada numerador por el número que hayamos multiplicado
al denominador. Por último, sumamos los numeradores que hayamos obtenido y dejamos
el mismo denominador.

Por ejemplo,

Lo primero es haya un denominador común entre el 3 y el 5. Para eso, hallamos el mínimo
común múltiplo entre ambos.

m.c.m. (3,5) = 15

Por lo tanto 15 es el denominador común de las dos fracciones.

Ahora tenemos que multiplicar cada numerador por el número que hayamos multiplicado el
denominador. Para ello, dividimos el m.c.m entre el denominador inicial y el resultado lo
multiplicamos por el numerador de esa fracción:

Para la primera fracción:

15 : 3 = 5

5 x 2 = 10

Por lo tanto, 10 es el numerador de la primera fracción.

Para la segunda fracción:

15 : 5 = 3

3 x 4 =12

Por lo tanto, 12 es el numerador de la segunda fracción.

Ahora ya solo nos queda sumar los numeradores:

10 + 12 = 22

Y el resultado de la suma de fracciones es:

RESTA

En la resta de fracciones nos podemos encontrar dos casos diferentes:

• Fracciones que tienen el mismo denominador
• Fracciones que tienen el distinto denominador
  

Primer caso: fracciones que tiene el mismo denominador.

La resta de dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla,
sólo
hay que restar los numeradores y se deja el denominador común.

Ejemplo:

Segundo caso: fracciones con diferente denominador.

La resta de dos o más fracciones con distinto denominador es un poco menos sencilla.
Vamos paso a paso

1. Multiplicar en cruz. Se multiplica el numerador de la primera fraccion por el
denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la
segunda. Ambas multiplicaciones se restan.

Ejemplo:

2. Multiplicar los denominadores de las dos fracciones. Se multiplican los denominadores
de las dos fracciones.

3. Resolvemos todas las operaciones.

Observamos que 8 es multiplo de 2. Por lo que dividimos el 8 del denominador y del numerador
por este número.

Multiplicar dos Fracciones 

Simplificar fracciones:

Cualquier numerador se puede simplificar con cualquier
denominador.

Multiplicar en línea:

Se multiplican los denominadores para obtener el denominador
final y se multiplican los numeradores para obtener el numerador final.

Por ejemplo,

Primero debemos simplificar las fracciones para que resulte más fácil multiplicar después.

Por lo tanto, para simplificar lo que haremos será descomponer cada número en factores primos.

4 = 2 x 2

8 = 2 x 2 x 2

15 = 3 x 5

9 = 3 x 3

Y sustituimos cada número de las fracciones por sus factores primos.

Ahora simplificamos, tachando los numeradores y denominadores que sean iguales.

Y nos queda que el resultado de la multiplicación es 5/6.

Cómo se hace una multiplicación de fracciones con un número entero:

Cuando queremos multiplicar una fracción por un número entero es muy sencillo, simplemente el

número entero lo pasamos a fracción poniendo como denominador un 1.

Por ejemplo,

La fracción 3/6  se puede simplificar como hemos visto en el ejemplo anterior descomponiendo en

factores primos y nos queda 1/2.

El número entero 7 lo pasamos a fracción poniendo un 1 como denominador: 7/1.

Ahora multiplicamos en línea: multiplicamos denominadores: 2 x 1 = 2.

Multiplicamos numeradores: 1 x 7 = 7

De esta manera, nos queda la fracción: 7 / 2

Dividir números racionales

1- Multiplicación y división de números racionales

Para multiplicar y dividir números racionales se puede utilizar su representación fraccionaria o decimal, igual como los has estudiado en cursos anteriores.

Para multiplicar o dividir números decimales infinitos periódicos o semiperiódicos por otro número racional, debes transformarlos a fracción, y los números mixtos transformarlos a fracción impropia.

Ejemplos:

a) Transforma el siguiente número decimal infinito periódico a fracción:

b) Transforma el siguiente número decimal infinito semiperiódico a fracción:

c) Transforma el siguiente número mixto a fracción impropia:

Debes aplicar al igual que para los números enteros   la regla de los signos.

1.1- Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores con los numeradores y los denominadores con los denominadores. Luego si es necesario se simplifica la fracción resultante. Siendo a,b,c,d diferentes de cero, pertenecientes al conjunto de los números enteros, lo podemos representar de la siguiente forma;

Ejemplos:

Recuerda siempre usar la regla de signos, en este ejercicio el resultado es negativo (-).

Para resolver este ejercicio, primero transformamos el número mixto a fracción impropia y luego multiplicamos.

Para resolver este ejercicio, multiplicamos las 2 primeras fracciones y transformamos el decimal infinito periódico a fracción y luego, multiplicamos esta fracción por la fracción resultante  de la primera multiplicación. Como el decimal es negativo y las fracciones positivas el resultado es negativo (-).

1.2- División de fracciones
Para dividir 2 fracciones, debes multiplicar la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda fracción. Siendo a,b,c,d diferentes de cero, pertenecientes al conjunto de los números enteros, se puede representar de la siguiente forma;

Ejemplos:

En este ejemplo puedes ver como invertimos la segunda fracción y luego multiplicamos por la primera fracción.

Para dividir estos números racionales, primeros transformamos el número mixto a fracción impropia, invertimos la segunda fracción y luego, multiplicamos las fracciones.

Para resolver este ejercicio, invertimos el número – 4 (sabiendo que -4 = -4/1) y lo multiplicamos por la primera fracción. Además, pasamos el decimal infinito periódico a fracción común (lo que dio como resultado -3/9) y simplificamos (1/3), luego invertimos la fracción (-3/1), y multiplicamos por el resultado de la división de las 2 primeras fracciones.

1.3- Propiedades de la multiplicación y la división en los números racionales

En la multiplicación de números racionales se cumplen las propiedades de clausura, asociativa, conmutativa, distributiva, elemento neutro y elemento inverso.

Sean a, b, c, d diferentes de 0.

a) Clausura:

Si multiplicamos o dividimos dos números racionales, el resultado será siempre un número racional. Por lo tanto, el conjunto de números racionales  es cerrado para la multiplicación y para la división.

b) Asociativa:

Independiente de como se agrupen los números racionales dentro de la multiplicación, el resultado será el mismo.

c) Conmutativa:

Puede variar el orden de los números racionales en la multiplicación y el resultado será el mismo. Donde se puede ocupar la frase “el orden de los factores no altera el producto”.

d) Distributiva:

Al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos.

e) Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos extraer dicho factor, y escribirlo como el producto de la suma de los otros factores.

f) Elemento neutro:

En la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.

g) Elemento inverso:

El inverso de un número racional en la multiplicación, dará como resultado el número uno.

Reducir fracciones a común denominador

Reducir las fracciones a común denominador y podemos hacerlo de dos

maneras diferentes:

• Por el método de los productos cruzados.
• Por el método el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Método de los productos cruzados

Para reducir dos fracciones a común denominador por el método de los productos

cruzados.

• Multiplicamos el numerador y el denominador de cada fracción por el


• denominador de la otra


• para hallar sus fracciones equivalentes.

• Comparamos las nuevas fracciones

Método del mínimo común múltiplo.

Es un método muy eficaz porque nos proporciona las fracciones equivalente

más simples.

Seguimos estos pasos:

1) Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores

2) El denominador común de todas las fracciones será este mcm que

acabamos de calcular.

3) El numerador de cada fracción lo calculamos dividiendo el mcm entre el

denominador y

multiplicando el resultado por el numerador. En realidad nos aseguramos que

sean equivalentes.

Ejemplo: Reducir a común denominador las siguientes fracciones

1) m.c.m. (2, 3 y 4) = 12, como ya sabes.

2) Lo ponemos como denominador en las fracciones

3) Dividimos el m.c.m. entre el denominador de cada fracción y multiplicamos

por el numerador:

El resultado sería:

Recuerda que el valor decimal de una fracción se calcula dividiendo el

numerador entre el

denominador.

Vamos a ordenar las siguientes fracciones de menor a mayor, para lo cual

calcularemos

previamente su valor decimal.

Dividiendo para obtener decimales en el cociente hallamos los siguientes

resultados:

Por lo tanto podemos ordenar estas fracciones de esta manera: