ORDEN DE LAS OPERACIONES
Objetivos de aprendizaje
- · Usar el orden de operaciones para simplificar expresiones, incluyendo aquellas con paréntesis.
- · Usar el orden de operaciones para simplificar expresiones que contienen exponentes y raíces cuadradas.
Introducción
Necesitamos un conjunto de normas comunes para realizar cálculos. Hace muchos años, los matemáticos desarrollaron un orden de operaciones estándar que nos indica qué operaciones hacer primero en una expresión con más de una operación. Sin un procedimiento estándar para hacer cálculos, dos personas podrían obtener diferentes resultados para el mismo problema. Por ejemplo, 3 + 5 • 2 tiene sólo una respuesta correcta. ¿Es 13 o 16?
El orden de las operaciones suma, resta, multiplicación y división
Primero, considera expresiones que incluyan una o más operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, y división. El orden de operaciones requiere que todas las multiplicaciones y divisiones se hagan primero, yendo de izquierda a derecha en la expresión. El orden en el cual se calculan la multiplicación y división está determinado por cuál aparece primero, de izquierda a derecha.
Después que se han completado la multiplicación y la división, suma y resta en orden de izquierda a derecha. El orden también está determinado por la que aparece primero de izquierda a derecha.
A continuación, hay tres ejemplos mostrando el orden apropiado de operaciones para expresiones con suma, resta, multiplicación, y/o división,
Ejemplo
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Problema
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Simplifica 3 + 5 • 2.
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3 + 5 • 2
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El orden de operaciones te dice que hagas la multiplicación antes que la suma.
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3 + 10
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Ahora suma.
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Respuesta 3 + 5 • 2 = 13
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Ejemplo
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Problema
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Simplifica 20 – 16 ÷ 4.
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20 – 16 ÷ 4
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El orden de operaciones te dice que hagas la división antes que la resta.
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20 – 4
16
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Ahora resta.
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Respuesta 20 – 16 ÷ 4 = 16
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Ejemplo
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Problema
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Simplifica 60 – 30 ÷ 3 • 5 + 7.
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60 – 30 ÷ 3 • 5 + 7
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El orden de operaciones te dice que hagas la multiplicación y la división primero, de izquierda a derecha, antes de hacer la suma y la resta.
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60 – 10 • 5 + 7
60 – 50 + 7
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Continúa haciendo la multiplicación y la división de izquierda a derecha.
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10 + 7
17
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Ahora, suma y resta de izquierda a derecha. (Nota que la suma no se hace necesariamente antes que la resta.)
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Respuesta 60 – 30 ÷ 3 • 5 + 7 = 17
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Agrupación de símbolos y el orden de operaciones
Símbolos de agrupación como paréntesis ( ), llaves 
, corchetes [ ], y barras de fracción pueden usarse para controlar aún más el orden de las cuatro operaciones aritméticas básicas. Las reglas del orden de operaciones requieren que se realice primero el cálculo dentro de los símbolos de agrupación, incluso si estás sumando o restando dentro de los símbolos de agrupación y tienes multiplicaciones afuera de éstos símbolos. Después de calcular dentro de los símbolos de agrupación, divide o multiplica de izquierda a derecha y luego resta o suma de izquierda a derecha.
, corchetes [ ], y barras de fracción pueden usarse para controlar aún más el orden de las cuatro operaciones aritméticas básicas. Las reglas del orden de operaciones requieren que se realice primero el cálculo dentro de los símbolos de agrupación, incluso si estás sumando o restando dentro de los símbolos de agrupación y tienes multiplicaciones afuera de éstos símbolos. Después de calcular dentro de los símbolos de agrupación, divide o multiplica de izquierda a derecha y luego resta o suma de izquierda a derecha.
Ejemplo
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Problema
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Simplifica 900 ÷ (6 + 3 • 8) – 10.
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900 ÷ (6 + 3 • 8) – 10
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El orden de operaciones te dice que hagas primero lo que hay dentro de los paréntesis.
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900 ÷ (6 + 3 • 8) – 10
900 ÷ (6 + 24) – 10
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Simplifica la expresión en los paréntesis. Primero multiplica.
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900 ÷ 30 – 10
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Luego suma 6 + 24.
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900 ÷ 30 – 10
30 – 10
20
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Ahora realiza la división; luego resta
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Respuesta 900 ÷ (6 + 3 • 8) – 10 = 20
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Cuando haya símbolos de agrupación dentro de símbolos de agrupación, calcula de adentro hacia afuera. Esto es, empieza simplificando los símbolos de agrupación en el centro. Se muestran dos ejemplos.
Ejemplo
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Problema
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Simplifica 4 – 3[20 – 3 • 4 – (2 + 4)] ÷ 2.
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4 – 3[20 – 3 • 4 – (2 + 4)] ÷ 2
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Hay llaves y paréntesis en éste problema. Calcula primero los que están dentro del grupo.
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4 – 3[20 – 3 • 4 – (2 + 4)] ÷ 2
4 – 3[20 – 3 • 4 – 6] ÷ 2
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Simplifica dentro de los paréntesis
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4 – 3[20 – 3 • 4 – 6] ÷ 2
4 – 3[20 – 12 – 6] ÷ 2
4 – 3[8 – 6] ÷ 2
4 – 3(2) ÷ 2
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Ahora, simplifica dentro de las llaves multiplicando y luego restando de izquierda a derecha
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4 – 3(2) ÷ 2
4 – 6 ÷ 2
4 – 3
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Multiplica y divide de izquierda a derecha.
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4 – 3
1
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Resta.
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Respuesta 4 – 3[20 – 3 • 4 – (2 + 4)] ÷ 2 = 1
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Recuerda que los paréntesis también pueden usarse para denotar una multiplicación. En el ejemplo siguiente, los paréntesis no son un símbolo de agrupación; son un símbolo de multiplicación. En éste caso, como el problema tiene sólo una multiplicación y una división, calculamos de izquierda a derecha. Ten cuidado al determinar qué significan los paréntesis en un determinado problema. ¿Son un símbolo de agrupación o un símbolo de multiplicación?
Ejemplo
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Problema
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Simplifica 6 ÷ (3)(2).
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6 ÷ 3 • 2
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Ésta expresión sólo tiene multiplicación y división. La multiplicación se muestra con un punto.
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6 ÷ 3 • 2
2 • 2
4
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Como la expresión tiene sólo división y multiplicación, calcula de izquierda a derecha
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Respuesta 6 ÷ (3)(2) = 4
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Considera qué pasa si se le añaden corchetes al problema anterior: 6 ÷ {(3)(2)}. Los paréntesis siguen siendo multiplicación; los corchetes adicionales son un símbolo de agrupación. De acuerdo con el orden de operaciones, calcula primero lo que hay entro de los corchetes. Ahora éste problema se evalúa a como 6 ÷ 6 = 1. Nota que los corchetes provocan que la solución cambie de 1 a 4.
Simplifica 40 – (4 + 6) ÷ 2 + 3.
A) 18
B) 38
C) 24
D) 32
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El orden de operaciones
1) Realiza todas las operaciones empezando por los grupos de adentro. Los símbolos de agrupación incluyen paréntesis ( ), llaves { }, corchetes [ ], y barras de fracción.
2) Multiplica y divide, de izquierda a derecha.
3) Suma y resta, de izquierda a derecha.
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Realizando el orden de operaciones con exponentes y raíces cuadradas
Hasta ahora, nuestras reglas nos permiten simplificar expresiones que tengan multiplicación, división, suma, resta o símbolos de agrupación. ¿Qué pasa si un problema tiene exponentes o raíces cuadradas? Necesitamos expandir nuestras reglas de orden de operación para incluir a los exponentes y a las raíces cuadradas.
Si la expresión tiene exponentes o raíces cuadradas, deben ejecutase después de que lo hayan hecho los símbolos de agrupación y hayan sido simplificados y antes que cualquier multiplicación, división, suma y resta que esté fuera del paréntesis o en otro grupo de símbolos.
Nota que calculas de operaciones complejas a operaciones básicas. La suma y la resta son las operaciones más básicas. Probablemente las aprendiste primero, La multiplicación y la división, aunque se repiten en la suma y en la resta, son más complejas y vienen antes que la multiplicación y la división en el orden de operaciones. Los exponentes y las raíces cuadradas se repiten y como son aún más complejas, deben venir antes de la suma y la resta en el orden de operaciones. Los exponentes y las raíces cuadradas están repetidas en la multiplicación y la división, y como son más complejas, se realizan antes que la multiplicación y la división. Algunos ejemplos que muestran el orden de operaciones implicando exponentes y raíces cuadradas son muestran abajo.
Ejemplo
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Problema
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Simplifica 14 + 28 ÷ 22.
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14 + 28 ÷ 22
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Éste problema tiene suma, división, y exponentes. Usa el orden de operaciones
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14 + 28 ÷ 4
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Simplifica 22.
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14 + 7
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Realiza la división antes que la suma.
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21
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Suma.
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Respuesta 14 + 28 ÷ 22 = 21
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Ejemplo
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Problema
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Simplifica 32 • 23.
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32 • 23
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Éste problema tiene exponentes y multiplicación
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9 • 8
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Simplifica 32 y 23.
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72
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Realiza la multiplicación.
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Respuesta 32 • 23 = 72
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Ejemplo
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Problema
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Simplifica (3 + 4)2 + (8)(4).
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(3 + 4)2 + (8)(4)
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Este problema tiene paréntesis, exponentes, y una multiplicación. El primer conjunto de paréntesis es un símbolo de producto. El segundo conjunto indica que es multiplicación. Agrupa a símbolos que se manejarán primero.
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72 + (8)(4)
49 + (8)(4)
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Añade números dentro de los paréntesis que sirven como símbolos de agrupación. Simplifica el 72.
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49 + 32
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Realiza la multiplicación.
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81
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Suma.
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Respuesta (3 + 4)2 + (8)(4) = 81
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Simplifica 77 – (1 + 4 – 2)2.
A) 68
B) 28
C) 71
D) 156
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El orden de operaciones
1) Realiza todas las operaciones empezando por los grupos de adentro.
Los símbolos de agrupación incluyen paréntesis ( ), llaves { }, corchetes [ ],
y barras de fracción.
2) Evalúa los exponentes y las raíces de números, como las raíces cuadradas.
3) Multiplicay divide, de izquierda a derecha.
4) Suma y resta, de izquierda a derecha.
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Algunas personas usan una frase para ayudarse a recordar el orden de operaciones. La frase se llama PEMDAS o “Please Excuse My Dear Aunt Sally.” La primera letra de cada palabra inicia con la misma letra de la operación aritmética.
Please
 Paréntesis (y otros símbolos de agrupación) |
Excuse
Exponentes |
My Dear
Multiplicación y División (de izquierda a derecha) |
Aunt Sally
Adición y Sustracción (de izquierda a derecha) |
Note: Incluso cuando la multiplicación viene antes que la división en la frase, la división podría venir primero. Qué se realiza primero, entre la multiplicación y la división, depende de qué aparezca primero cuando se lee de izquierda a derecha. Lo mismo sucede con la suma y la resta. ¡No dejes que la frase te confunda en esto!
Sumario
El orden de operaciones nos da una secuencia consistente para usar al momento de hacer cálculos. Sin el orden de operaciones, podrías encontrarle resultados distintos al mismo problema matemático. (Algunas de las calculadoras viejas y algunas de las baratas, NO usan el orden de operaciones. Para utilizar correctamente éstas calculadoras, el usuario de escribir los números en el orden correcto.)
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